【模型研究】炉石模型研究——滞后收益

本文主要探讨基于滞后性的收益模型。

 

在讲正文之前叠个甲：

   如果觉得我的文章胡说八道，不要直接喷，讲出你们反驳的点

   如果你认为我的模型是错的，我同意。我的模型是错的，当然，所有模型都是错的，我们要研究的是错的不那么离谱的模型——正如牛顿经典力学无法拟合高速运动，相对论眼里经典力学是错的，但是未来也可能会有力学模型推翻相对论。模型重要的是能适用于实战的分析，而非比个谁“对”。虽然相对论比经典力学更加贴近真实性，但是对于低速运动，我们依旧使用的是经典力学，尽管他是“错”的。

   

讲炉石滞后收益的时候，我们可以拿金钱等生活中可以量化的收益进行对比——如果你现在食不果腹，现在给你两个选择，必须二选一，你选择哪个

   A. 立刻获取满足你生存需要的钱，但也仅限于这段时间的温饱

   B. 两个月断绝一切经济来源，两个月后，然后获得能当上世界首富的钱

虽然这个问题有点夸张，但是很明显，对于食不果腹的人，生存是必须的，尽管B选项能获取的钱远远高于A获取的钱，两个月无经济来源很难生存下去，因此食不果腹的人选择A一定比B好。这个例子就要引出概念——滞后收益来解释了。B获得的收益是需要时间的，是滞后的；将未来收益折合结算为当前收益，就需要进行时间衰减。

 

换而言之，如果你消耗当前的10000元，换取一年后的10110元，你觉得如何呢？白嫖是白嫖了110元，但是你花了时间，以及你这一年内不能用的10000元啊！况且这个功能现在就有，你找的是不是：银行存款

 

因而，我们为了折合未来的收益，使用一个γ数值（折现率discount rate）表示未来收益的损失函数。如果我立刻挣10000元，我的收益值用10000表示；然而如果我一步操作能让明年挣10000元，那么我当下操作的收益值为10000γ。由于未来收益是不如当下收益的，因此γ定义为0<γ<1。

 

那么我如果后年赚10000元，γ依旧是一年的折现率，那么我能否计算今年的收益吗？能！后年赚10000=明年赚10000γ=今年赚10000γ²，按照等比例计算时间折现率。

明白了这个之后，我们回到炉石上来——当下收益和未来收益，我们准备用回合作为折现率的间隔来解释炉石里延迟收益的问题。

如果只看收益不看回合延迟，就会出现如下谬论

   1.武器太超模了啊，剑鱼3费打12，简直是3费的炎爆术；光铸凯瑞尔不考虑别的效果，武器2/∞，能打∞，太过分了吧；

   2.休眠随从太超模了，235突袭，都35突袭接近4费的强度，竟然只要2费；

   3.腐蚀术太离谱了，别人解牌都是高费的/限制条件的，你这来个无差别的解牌，太逆天了；

当然以上谬论是如何形成的，就是忽略了未来收益导致的。

 

当然，我们如果理性分析就会发现，剑鱼的3回合内，可能出现各种意外（譬如被吃刀，被冰片冻脸，人被反杀，对面开雷诺回血）而3费打12则能阻断这些意外的发生；光铸凯瑞尔的无限耐久盾，也只能每回合打2，而不能一口气劈无数下消灭对手，这便是延迟收益的问题。

那么，如何计算炉石里的回合收益呢？如果说一把4/3的剑鱼，剑鱼=当前回合打4+下回合打4+下下回合打4，因此收益值可以认为是4+4γ+4γ²，进而用这个数值去拟合剑鱼造成的伤害贡献。2/∞的武器的收益=2+2γ+2γ²+...=2/(1-γ)，作为比值小于1的无穷等比数列，和是收敛的，也就解释了收益的有限性（因此，救赎者洛萨克森、野火、图哈特等，都可以近似认为如此）

 

因此判断几个问题

Q：高费怪为何会日常溢出（费用*2+1=攻+血）的老模型，从低于此模型变成夸张的效果（譬如奥丁已经算空过界的天花板了，9/10/10恶犬在超模的前提下还能吸身材，依旧不配进构筑）；

A：高费表示他登场回合晚，而越晚的回合登场，收益就越滞后，所以直接裸拍必须有夸张收益的才能直接携带；因此亚煞极、移动山丘等优质大哥会在大哥萨出场，耐普图隆在大哥萨和大哥牧体系里出场，团本在德鲁伊构筑中出场，都是因为他们能够提前以其他手段登场，而非准时手打，因此4费先祖召唤的耐普图隆比10费手拍的耐普图隆强大1/(γ^6)倍

Q：巨化快攻德为什么走不远，以至于淡出玩家视野（单从森然巨化讨论）

A：森然巨化让随从+1费，看似身材大了好几圈，但是缺点是让部分功能随从变得更笨重；（随便举例几张可能带入构筑的功能牌，怒爪精锐战吼带半个咆哮，223和345相比，223更加轻便，如果你5费，有咆哮+223怒爪可以斩杀，咆哮+345怒爪则没费用了；同理对于小赛布、灰烬元素等功能牌，费用高了1费也压缩了其他功能牌的空间，毕竟功能牌的功能是主题，身材是附加值而已，特效的价值拖延也导致了γ损失）

Q：如何驳斥如下说辞【剑鱼贼，锈水带有软嘲讽，因此先手1费下锈水对面（原，德，法）必须硬币技能解从而赚节奏，下个鱼排对面可以理都不理，赚不到节奏】

A：利用滞后收益理论，1费下鱼排带来的两回合内收益是1+3γ，1费下锈水的两回合内收益是0+γ（2+(1+γ)p）【注释，p是2费转刀并砍的概率，p<1】，由此公式可以看到，单从打脸收益而言，无论存活1/2/3回合，锈水对打脸做出的贡献值一定是低于鱼排的，存活0回合，1>0，存活2回合，4>2+p（1+γ），因此可以看到，虽然锈水能让第二回合（如果转刀不抽刀）收益更高，但是哪怕这样，带来的收益也不如鱼排3攻+战吼1攻的收益（可能说的不是太明白，见谅）

 

注释：γ是大于0小于1的数，目前我看不出具体值为多少，不过我的理论目前是忽略不同回合见不同的γ的差异的，也就是我默认γ1_2=γ2_3=γ3_4，默认每两个回合间的收益损失率一致，然而事实上很可能是γ1_2>γ2_3>γ3_4....

 

思考题：

利用这个理论收益的γ模型，计算

1.我剑鱼贼3费探底，没找到海盗，探了右手悦耳嘻哈，假设下回合嘻哈必打，请问该不该砍下第一刀？

2.我后手剑鱼贼，起手留了剑鱼嘻哈，2费硬币剑鱼探底成功，3费打悦耳嘻哈，请问2费该不该砍这一刀？

3.我有个5/1的武器，对手有一个5/3的武器，请问给我的武器+1/+1提升的收益更高还是给对面的武器+1/+1提升的收益更高呢？

 

注：本理论纯属个人愚见，用来探讨“空过”和回合差异对炉石模型判断的参考和思考而已，有不足之处请多多指正，也希望大家能在我的理论上更进一步，或者“推翻”我的理论，能够拿更靠谱的理论去拟合模型